Chemotaxis und Chemokinese sind fundamentale biologische Prozesse, die die Regulation der Bewegung von Bakterien und Zellen beschreiben. Ansätze, diesen komplexen Vorgang zu simulieren, basieren meist auf dem sogenannten Patlak-Keller-Segel-(PKS) System. In jüngster Zeit wurde dieses mathematische Modell ausführlich untersucht, was zu einer Reihe von interessanten Resultate führte. Es zeigt sich, dass unter gewissen Randbedingungen die Lösung des Systems unendlich wird. Dies ist natürlich keine biologisch relevante Situation und zeigt, dass das zugrunde liegende System partieller Differentialgleichungen das biologische Phänomen noch nicht korrekt beschreibt.
Ein mathematischer Ansatz, diese Unendlichkeiten zu umgehen, sind sogenannte Regularisierungen, die auch schon in diesem Zusammenhang eingesetzt wurden. Allerdings entstehen immer noch große Gradienten und die numerische Behandlung dieses Systems ist nicht trivial.
Das ursprüngliche Modell wurde erweitert, um die biologischen Phänomene mit realistischeren Ansätzen beschreiben zu können. Beispiele für diese Erweiterungen sind die Einführung mehrerer bakterieller Spezies oder mehrerer chemischer Substanzen, die die Bewegung der Bakterien und Zellen modulieren. Allerdings sind diese Systeme in Bezug auf ihre analytischen und numerischen Eigenschaften bisher wenig untersucht.
Daher ist unser Ziel, zunächst eine robuste, stabile Methode höherer Ordnung für die numerische Behandlung des PKS-Systems zu entwickeln. Sie soll auf der Finite-Volumen-Methode basieren, die zusätzlich auch die Positivität der Werte erhält. Damit sollen dann die Ergebnisse des Systems bei verschiedenen Regularisierungen mit typischen biologischen Daten verglichen werden. In einem zweiten Schritt soll systematisch untersucht werden, welche Konsequenzen die Einführung nicht-konstanter Responsekoeffizienten für die Lösung des Systems hat. Diese Ergebnisse sollen dann wieder mit geeigneten biologischen Daten verglichen werden.